Question

在同一平面直角坐标系中，曲线C：x²+y²=1经过伸缩变换

x′=3x y′=2y

后，变为曲线C′．
（1）求曲线C′的方程；
（2）求曲线C′上的点到直线x+2y-8=0距离的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由条件可得曲线C′的方程为：(

x′

3

)2+(

y′

2

)2=1，化简可得结果．
（2）根据椭圆的参数方程为

x′=3cosθ y=2sinθ

，可设点M的坐标为 （3cosθ，2sinθ）．求得点M到直线的距离为d=

|3cosθ+4sinθ-8|

5

=

|5cos(θ-α)-8|

5

，根据余弦函数的值域求得d的最小值．

解答： 解：（1）由x²+y²=1、

x′=3x y′=2y

，可得曲线C′的方程为：(

x′

3

)2+(

y′

2

)2=1，
化简得：

x′2

9

+

y′2

4

=1．
（2）因为椭圆的参数方程为

x′=3cosθ y=2sinθ

 （θ为参数），
所以可设点M的坐标为 （3cosθ，2sinθ）．
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为d=

|3cosθ+4sinθ-8|

5

=

|5cos(θ-α)-8|

5

，
由三角函数性质知，当 θ-α=0时，d取最小值为

3 5

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，余弦函数的值域，属于基础题．