Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

1

2

AB．直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

1

2

AC，∠FAC是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是

1

3

，试求∠FAC的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB得中点H，连CH，由题意知四边形ADCH为菱形，从而昨到△ACB为直角三角形，BC⊥AC，进而得到BC⊥平面ACEF，由此能证明BC⊥AF． 
（Ⅱ）连结DH，交AC于MD，再连结EM、FM．由题意知四边形ADCH为菱形，由已知条件推导出∠DEM即为直线DE与平面ACEF所成的角，由此能求出∠FAC的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，
∵AD=DC=CB=

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2

AB，∴AD、BC为腰，
取AB得中点H，连CH，由题意知四边形ADCH为菱形，
则CH=AH=BH，故△ACB为直角三角形，∴BC⊥AC，…（3分）
∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF，∵AF?平面ACEF，故BC⊥AF． …（6分）
（Ⅱ）解：连结DH，交AC于MD，再连结EM、FM．由题意知四边形ADCH为菱形，
∴DM⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，∴DM⊥平面ACEF．
∴∠DEM即为直线DE与平面ACEF所成的角．…（9分）
设AD=DC=BC=a，则MD=

1

2

a，MC=

3

2

a
依题意，tan∠DEM=

DM

EM

=

1

3

∴ME=

3

2

a
在Rt△ECM中，cos∠EMC=

MC

ME

=

3 2 a

3 2 a

=

3

3

，
∵EF

∥ .

.

1

2

AC=AM，∴四边形AMEF为平行四边形，
∴ME∥AF，∴∠FAC=∠EMC，
∴cos∠FAC=cos∠EMC=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．