Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求证：OD∥平面VBC；
（2）求证：AC⊥平面VOD；
（3）求棱锥C-ABV的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件利用三角形中位线定理得到OD∥BC，由此能证明OD∥平面VBC．
（2）由已知条件推导出VO⊥AB，连接OC，推导出△VOA≌△VOC，从而得到VO⊥OC，进面得到VO⊥平面ABC，所以AC⊥VO，由此能证明AC⊥VD，从而证明AC⊥平面DOV．
（3）由（2）知VO是棱锥V-ABC的高，由此利用等积法能求出棱锥C-ABV的体积．

解答： （本小题满分13分）
（1）证明：∵O、D分别是AB和AC的中点，
∴OD∥BC．（1分）
又OD?面VBC，BC?面VBC，
∴OD∥平面VBC．（3分）
（2）证明：∵VA=VB，O为AB中点，∴VO⊥AB．（4分）
连接OC，在△VOA和△VOC中，OA=OC，VO=VO，VA=VC，
∴△VOA≌△VOC，∴∠VOA=∠VOC=90°，∴VO⊥OC．（5分）
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，∴VO⊥平面ABC．（6分）
∵AC?平面ABC，∴AC⊥VO．（7分）
又∵VA=VC，D是AC的中点，∴AC⊥VD．（8分）
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD=V，∴AC⊥平面DOV．（9分）
（3）解：由（2）知VO是棱锥V-ABC的高，
且VO=

VA2-AO2

=

3

．（10分）
又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，
∴三角形ABC的面积S△ABC=

1

2

AB•CO=

1

2

×2×1=1，（11分）
∴棱锥V-ABC的体积为：
VV-ABC=

1

3

S△ABC•VO=

1

3

×1×

3

=

3

3

，（12分）
故棱锥C-ABV的体积为

3

3

．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．