Question

设集合A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是（　　）

• A、

  2

  -2≤m≤1
• B、0＜m＜2+

  2

• C、m＜2-

  2

  或m＞1
• D、m＜

  1

  2

  或m＞2+

  2

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：首先求出A∩B≠∅时m的范围，方法为：由集合B得到其表示的点集，然后对是否为空集分类，当A不是空集时，再由m≤0或m≥

1

2

时分类，若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，半径为|m|的圆面（m=0时是点（2，0）），由点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|求解m的范围；若m≥

1

2

，则A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，大圆半径为|m|，小圆半径为

m

2

的圆环．然后再把m由1分界，m小于等于1时显然成立，m＞1时再由点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|列式求解m的范围，即可确定出A∩N=∅时m的范围．

解答： 解：∵对任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠∅，
集合B表示在直线x+y=2m与直线x+y=2m+1之间的平面区域（包含边界）．
当

m

2

＞m²，即0＜m＜

1

2

时，A=∅，不满足条件；
当

m

2

≤m²，即m≤0或m≥

1

2

时，A≠∅．
（1）若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
半径为|m|的圆面（m=0时是原点），
A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|，
即

|2-2m-1|

2

≤|m|，即2m²-4m+1≤0，即（m-1）²≤

1

2

，解得1-

2

2

≤m≤1+

2

2

，所以m∈∅；
（2）若m≥

1

2

，则A={（x，y）|

m

2

≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
大圆半径为|m|，小圆半径为

m

2

的圆环．
当（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即

1

2

≤m≤1时，A∩B≠∅，满足条件；
若m＞1，则A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|，
即

|2-2m|

2

≤|m|，即m²-4m+2≤0，即（m-2）²≤2，解得2-

2

≤m≤2+

2

，所以1＜m≤2+

2

，满足条件．
综上，A∩B≠∅时，实数m的取值范围是[

1

2

，2+

2

]，
则A∩B=∅，则实数m的取值范围是m＜

1

2

或m＞2+

2

．
故选：D．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．