Question

定义在x∈[-e，0）上的函数f（x）=ax-ln（-x），是否存在实数a，使f（x）的最小值为3，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，分a≥0，a＜0两种情况讨论求得最小值，令其等于3解出a．a≥0时由单调性可求最小值，a＜0时再分

1

a

≤-e，-e＜

1

a

＜0两种情况讨论可求最小值．

解答： 解：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
②当a＜0时，f′（x）=

a(x- 1 a )

x

，
若

1

a

≤-e即-

1

e

≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）递增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
若-e＜

1

a

＜0，即a＜-

1

e

时，f（x）在[-e，

1

a

）上递减，在（

1

a

，0）上递增，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln（-

1

a

）=3，解得a=-e²，
∴存在实数a=-e²满足题意．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．