Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点P（1，-2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过点的坐标适合方程求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）过焦点F且斜率为2的直线l，设出直线方程，利用过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，联立方程组，利用韦达定理弦长公式以及点到直线的距离求出△OAB的面积．

解答： （本小题满分（13分），（Ⅰ）小问（5分），（Ⅱ）小问8分）
解：（Ⅰ）由题意：4=2p，解得：p=2，
从而抛物线的方程为y²=4x，准线方程为x=-1…（5分）
（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），依题意可设直线y=2x-2…（6分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=2x-2 y2=4x

得：4x²-12x+4=0，即x²-3x+1=0…（8分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理有：x₁+x₂=3，x₁x₂=1…（9分）
则弦长|AB|=

5

|x1-x2|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

9-4

=5…（11分）
而原点O（0，0）到直线l的距离d=

2

5

5

…（12分）
故S△FAB=

1

2

×|AB|×d=

5

…（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法以及性质的应用，考查计算能力．