Question

（2012•成都模拟）已知底面边长为2，侧棱长为

6

的正四棱锥P-ABCD内接于球O，则球面上A、B两点间的球面距离是（　　）

• A．arccos

  1

  9

• B．

  3

  2

  arccos

  1

  9

• C．

  2

  π
• D．

  2

  2

  π

Answer 1

分析：设球的半径为R，利用正四棱锥的性质和球的性质，结合勾股定理列方程，解之得球半径，进而求出球心角，利用球面距离公式，可得结论．

解答：解：设外接球球心为O，正方形ABCD中心为O₁，连接VO₁，则球心O在VO₁上，连接AC、OA、OB
∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=2

2

，O₁A=

1

2

AC=

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=

6-2

=2
设外接球半径为R，则Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=2-R
∴R²=（2-R）²+2，解之得：R=

3

2

因此，△AOB中，cos∠AOB=

9 4 + 9 4 -2

2× 3 2 × 3 2

=

1

9

故∠AOB=arccos

1

9

所以AB两点的球面距离为R×∠AOB=

3

2

arccos

1

9

故选B．

点评：本题考查球面距离，考查了正四棱锥的性质和球的性质，余弦定理和反三角函数的应用等知识点，属于中档题．