【题目】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，
，平面
平面ABCD.
（1）求证：
；
（2）若
，且
，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取CD的中点M，连接AM，由条件知四边形BCMA为正方形，可得
，再由平面
平面ABCD，
平面ABCD，平面
平面
，即可证得
平面PAD，从而证得
；
（2）过点P作
交AD的延长线于点E，可证PE为四棱锥的高，再根据几何关系计算相关棱长，并利用面积公式和
，即可求得
，进而求得四棱锥P-ABCD的体积.
（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，取CD的中点M，连接AM，
由条件知四边形BCMA为正方形，
，
，
∵平面平面ABCD，平面ABCD，
平面平面，
平面PAD，
平面PAD，
；
（2）过点P作交AD的延长线于点E，如图，
∵平面平面ABCD，
平面PAD，平面平面，
∴
平面ABCD.
设
，则
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，易得
边上的高为
，
，
，
.
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【题目】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值不可以是下列四个选项中的哪组( )
A.n=360，m=14B.n=420，m=15C.n=540，m=18D.n=660，m=19
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【题目】已知抛物线
，的焦点为
，过点的直线
的斜率为
，与抛物线
交于
，
两点，抛物线在点，处的切线分别为
，
，两条切线的交点为
．
（1）证明：
；
（2）若
的外接圆
与抛物线
有四个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
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【题目】为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段
，
，
，
，
，
，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中
的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于
分为事件
,求事件发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设
为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.
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【题目】已知函数
的定义域为
且满足
，当
时，
.
（1）判断在
上的单调性并加以证明；
（2）若方程
有实数根
，则称为函数的一个不动点，设正数为函数
的一个不动点，且
，求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数）.以原点
为极点，以
轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆
的方程为
被圆截得的弦长为
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）设圆与直线交于点
，若点
的坐标为
，且
，求
的值.
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【题目】某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： 
，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
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【题目】已知函数
，实数
满足
；
（1）当函数
的定义域为
时，求的值域；
（2）求函数关系式
，并求函数
的定义域
；
（3）在（2）的结论中，对任意
，都存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
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