【题目】已知函数的定义域为
且满足
,当
时,
.
(1)判断在
上的单调性并加以证明;
(2)若方程有实数根
,则称
为函数
的一个不动点,设正数
为函数
的一个不动点,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) 单调递减. 见解析 (2) (或
).
【解析】
(1)根据已知条件,构造函数
,可证
在
上单调递减.,再通过
的奇偶性,可得出
在
上单调递减,即可判断
在
上的单调性;
(2)转为为(1)中的
两个函数值,利用
的单调性,求出
的范围,再根据不动点的定义转化为
在
有解,,分离参数
,转化为研究
与函数
在
有交点,通过两次求导得出
在
单调性,即可求出在
的范围.
(1)令,则
,
∵当时,
,∴
,
∴在
上单调递减,又∵
,
∴,
∴为奇函数,∴
在
上单调递减.
又∵在
上单调递减,
∴在
上单调递减.
(2)由(1)可知,在
上单调递减.
∵,∴
,
∴,故
.
∵正数为函数
上的一个不动点,∴方程
在
上有解,
即方程在
上有解,
整理得:.
令,
,
设,
,则
,
∴在
上单调递增,又
,
∴,∴
,
∴在
上单调递减,
∴(或
),
即的取值范围是
(或
).
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=6sinθ,建立以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系.直线l的参数方程是,(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的斜率k.
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【题目】地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了,达到
,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息,正确的统计结论是( )
A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B.10年来全球新增装机容量连年攀升
C.10年来中国新增装机容量平均超过
D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且与双曲线
有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
相交于
,
两点,点
满足
,点
,若直线
斜率为
,求
面积的最大值及此时直线
的方程.
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【题目】设函数为常数) .
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程:
(2)若函数在
内存在唯一极值点
,求实数
的取值范围,并判断
,是
在
内的极大值点还是极小值点.
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【题目】已知椭圆:
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线
:
与椭圆
有且只有一个公共点.
(Ⅰ)求椭圆的方程及点
的坐标;
(Ⅱ)设是坐标原点,直线
平行于
,与椭圆
交于不同的两点
、
,且与直线
交于点
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
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【题目】如图,已知椭圆过点
两个焦点为
和
.圆O的方程为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过且斜率为
的动直线l与椭圆C交于A、B两点,与圆O交于P、Q两点(点A、P在x轴上方),当
成等差数列时,求弦PQ的长.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DFPD.
(1)求证:PB∥平面AEF;
(2)若,求三棱锥E﹣PAD的体积.
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