Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，点满足，点，若直线斜率为，求面积的最大值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），直线的方程为

【解析】

(1)有题意有可求解.
(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点，然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度，进一步表示出的面积,然后求最值.

解：（1）由题设知

，

椭圆的方程为：

（2）法一： 为的中点

又

1）当为坐标原点时

当的斜率不存在时，此时、为短轴的两个端点

当的斜率存在时，设的斜率为

设，，则，代入椭圆方程

整理得：

，

到的距离

解一：令

令

或

函数在单调递增，单调递减，单调递增

时，为的极大值点，也是最大值点

直线方程为

解二：设，则

要得的最大值

，

当，时，即，时等号成立

，直线方程为

2）当不为原点时，由，

，，三点共线

，设，，，

的斜率为

，，

，在椭圆上，

得

，即

设直线代入椭圆方程，整理得

，

到直线的距离

令，，

令，，，

在上单调递增，在上单调递减

，

，此时直线

综上所述：，直线的方程为

解二：设，，为的中点，在椭圆上

当直线的斜率不存在时，设则，

， 所以

，则，为短轴上的两个端点

当直线的斜率存在时，设，

消去得

,

，

由得

或

下同解法一