Question

【题目】已知函数，是的导函数，且.

（1）求的值，并证明在处取得极值；

（2）证明：在区间有唯一零点.

Answer 1

【答案】（1），证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求出导函数，根据求出的值，再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性，计算出极值点.

（2）根据，由零点存在性定理可知函数在区间有零点，再证明零点的唯一性即可.

解：（1），令，得，∴.

∴，.

当时，，，故是区间上的增函数.

当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，∴，即在区间上，，因此是区间上的减函数.综上所述，在处取得极大值.

（2）由（1），∵（当且仅当时，.）

，∴在区间至少有一个零点.

以下讨论在区间上函数值的变化情况：

由（1），令，则，

令，在上，解得，.

①当时，在区间，，递减，；在，，

递增，.故存在唯一实数，使，即.在

上，，递减，；在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，.故在上有唯一零点.

②对任意正整数，在区间，，递减，，

在区间，，递增，，故存在唯一实数，使，即，在上，因，故，递减，在上，因，故，递增，，，∴，

∴在区间即有唯一零点.

综上，在区间有唯一零点.