Question

【题目】设函数为常数) .

(1)当时，求曲线在处的切线方程:

(2)若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断，是在内的极大值点还是极小值点.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，为函数的极小值点

【解析】

（1）求出，，即可求出切线方程；

（2）转化为在有唯一解，分离参数，构造新函数，再转为直线与构造函数的交点，通过求导研究所构造函数的性质，即可求解.

解: (1)当时，，

所求切线的斜率，又.

所以曲线在处的切线方程为.

(2)

又，则要使得在内存在唯一极值点，

则在存在唯一零点，

即方程在内存在唯一解，，

，即与在范围内有唯一交点.

设函数，

则在单调递减，

又；当时，，

时与在范围内有唯一交点，设为

当时，，

则，在为减函数:

当时，，

则，在为增函数.

即为函数的极小值点.

综上所述:，且为函数的极小值点