【题目】定义在R上的奇函数,当
时,
则函数的所有零点之和为_____.
【答案】
【解析】
函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交点的横坐标;作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x≥0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案.
∵当x≥0时,
f(x)=
即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]时,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)﹣a=0共有五个实根,
最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为6,
∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=
(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中间的一个根满足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a,
解得x=1﹣2a,
∴所有根的和为1﹣2a.
故答案为:1﹣2a.
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【题目】从某企业的某种产品中抽取件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差
(同一组数据用该区间的中点值作代表,记作
,
);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准,则合格标准的质量指标值大约为多少?
(ii)若该企业又生产了这种产品件,且每件产品相互独立,则这
件产品质量指标值不低于
的件数最有可能是多少?
附:参考数据与公式:,
;若
,则①
;②
;③
.
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【题目】某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生30人,测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图(单位:):男生成绩在175
以上(包括175
)定义为“合格”,成绩在175
以下(不包括175
)定义为“不合格”.女生成绩在165
以上(包括165
)定义为“合格”,成绩在165
以下(不包括165
)定义为“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数;
(2)在五年一班的男生中任意选取3人,求至少有2人的成绩是合格的概率;
(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试,用表示其中男生的人数,写出
的分布列,并求
的数学期望.
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【题目】已知函数(
为常数,
且
),且数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当
时,求数列
的前
项和
的最小值;
(3)若,问是否存在实数
,使得
是递增数列?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区,如图,已知两个购物广场的占地都呈正方形,它们的面积分别为13公顷和8公顷;美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形,分别记它们的面积为公顷和
公顷;由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形,分别记它们的面积为
公顷和
公顷.
(1)设,用关于
的函数
表示
,并求
在区间
上的最大值的近似值(精确到0.001公顷);
(2)如果,并且
,试分别求出
、
、
、
的值.
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【题目】对于实数,将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分,用记号
表示.对于实数
,无穷数列
满足如下条件:
,
其中
.
(1)若,求数列
;
(2)当时,对任意的
,都有
,求符合要求的实数
构成的集合
;
(3)若是有理数,设
(
是整数,
是正整数,
互质),问对于大于
的任意正整数
,是否都有
成立,并证明你的结论.
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【题目】已知无穷数列的前n项和为
,记
,
,…,
中奇数的个数为
.
(Ⅰ)若= n,请写出数列
的前5项;
(Ⅱ)求证:"为奇数,
(i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求数列
的通项公式.
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【题目】某温室大棚规定,一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工作作业时段,从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度y(单位:度)与时间t(单位:小时,)近似地满足函数
关系,其中,b为大棚内一天中保温时段的通风量。
(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1℃);
(2)若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值。
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