【题目】对于实数,将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分,用记号
表示.对于实数
,无穷数列
满足如下条件:
,
其中
.
(1)若,求数列
;
(2)当时,对任意的
,都有
,求符合要求的实数
构成的集合
;
(3)若是有理数,设
(
是整数,
是正整数,
互质),问对于大于
的任意正整数
,是否都有
成立,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)
;(3)成立,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用新定义,可求数列的通项公式;(2)分类讨论,利用
,即可求符合要求的实数
构成的集合
;(3)由
是有理数,可知对一切正整数
,
为
或正有理数,可设
(
是非负整数,
是正整数,且
,
互质),利用反证法可得结论.
试题解析:(1),
,
若,则
,
所以.
(2),所以
,所以
,
①当,即
时,
,所以
,
解得(
,舍去).
②当,即
时,
,所以
,
解(
,舍去).
③当,即
时,
,所以
,
解得(
舍去).
综上.
(2)成立.由是有理数,可知对一切正整数
,
为0或正有理数,
可设(
是非负整数,
是正整数,且
既约).
①由,可得
;
②若,设
(
,
,
是非负整数),
则,而由
得
,
,故
,
,可得
.
若则
,
若均不为0,则这
正整数互不相同且都小于
,
但小于的正整数共有
个,矛盾.
故中至少有一个为0,即存在
,使得
.
从而数列中
以及它之后的项均为0,所以对不大于
的自然数
,都有
.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,椭圆
上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆
交于
两点,点
(0,1),且
=
,求直线
的方程.
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【题目】如图,射线和
均为笔直的公路,扇形
区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中
、
分别在射线
和
上.经测量得,扇形
的圆心角(即
)为
、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形
区域外修建一条公路
,分别与射线
、
交于
、
两点,并要求
与扇形弧
相切于点
.设
(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为
的函数,并写出
的取值范围;
(2)试确定的值,使得公路
的长度最小,并求出其最小值.
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【题目】如图,已知圆:
(
)和双曲线
:
(
),记
与
轴正半轴、
轴负半轴的公共点分别为
、
,又记
与
在第一、第四象限的公共点分别为
、
.
(1)若,且
恰为
的左焦点,求
的两条渐近线的方程;
(2)若,且
,求实数
的值;
(3)若恰为
的左焦点,求证:在
轴上不存在这样的点
,使得
.
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【题目】某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
,
是圆的切线,且
,曲线
是抛物线
的一部分,
,且
恰好等于圆
的半径.
(1)若米,
米,求
与
的值;
(2)若体育馆侧面的最大宽度不超过75米,求
的取值范围.
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【题目】如图,B是AC的中点,,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且
.有以下结论:
①当x=0时,y∈[2,3];
②当P是线段CE的中点时,;
③若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段;
④x﹣y的最大值为﹣1;
其中你认为正确的所有结论的序号为_____.
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【题目】若
(1)当时,设
所对应的自变量取值区间的长度为
(闭区间
的长度为
),试求
的最大值;
(2)是否存在这样的使得当
时,
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
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