Question

【题目】如图，已知圆：（）和双曲线：（），记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.

（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；

（2）若，且，求实数的值；

（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）依据圆的方程求出点B坐标，进而求出，得到双曲线的渐近线方程；

（2）联立圆与双曲线方程，得到关于的方程，利用根与系数的关系求出，再根据建立等式，求出实数；（3）先证明出AC的长为定值，再根据三角不等式说明，这样的点不存在。

（1）当时，圆：，所以点B的坐标为，

即有，，故的两条渐近线的方程为；

（2）当时，圆：，：，

联立 得，，设

所以，因为点A的坐标是（0,3），由得

，，解得，所以，

解得，代入，解得，

故。

（3）由题意知，点A的坐标是， ，

由得，，

,

所以用求根公式求得 ，

因为 ，所以，

即，故，又，

故在轴上不存在这样的点，使得.