Question

【题目】如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）试确定的值，使得公路的长度最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】⑴，其中，⑵当时，长度的最小值为千米..

【解析】试题分析：

⑴由切线的性质可得OS⊥MN.则SM=，SN=， 据此可得，其中.

⑵ 利用换元法，令，则， 由均值不等式的结论有：，当且仅当即时等号成立，即长度的最小值为千米.

试题解析：

⑴因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OS⊥MN.

在OSM中，因为OS=1，∠MOS=，所以SM=，

在OSN中，∠NOS=，所以SN=，

所以，

其中.

⑵ 因为，所以，

令，则，

所以，

由基本不等式得，

当且仅当即时取“=”.

此时，由于，故.

答：⑴，其中.

⑵当时，长度的最小值为千米.