【题目】已知无穷数列的前n项和为
,记
,
,…,
中奇数的个数为
.
(Ⅰ)若= n,请写出数列
的前5项;
(Ⅱ)求证:"为奇数,
(i = 2,3,4,...)为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求数列
的通项公式.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)代入的值,即可求得
,
,
,
,
.
(Ⅱ)根据题意,先证充分性和不必要性,分别作出证明.
(Ⅲ)分当为奇数和当
为偶数,两种情况进而推导数列的通项公式.
试题解析:
(Ⅰ)解: ,
,
,
,
.
(Ⅱ)证明:(充分性)
因为为奇数,
为偶数,
所以,对于任意,
都为奇数.
所以.
所以数列是单调递增数列.
(不必要性)
当数列中只有
是奇数,其余项都是偶数时,
为偶数,
均为奇数,
所以,数列
是单调递增数列.
所以“为奇数,
为偶数”不是“数列
是单调递增数列”的必要条件;
综上所述,“为奇数,
为偶数”是“数列
是单调递增数列” 的充分不必要条件.
(Ⅲ)解:(1)当为奇数时,
如果为偶数,
若为奇数,则
为奇数,所以
为偶数,与
矛盾;
若为偶数,则
为偶数,所以
为奇数,与
矛盾.
所以当为奇数时,
不能为偶数.
(2)当为偶数时,
如果为奇数,
若为奇数,则
为偶数,所以
为偶数,与
矛盾;
若为偶数,则
为奇数,所以
为奇数,与
矛盾.
所以当为偶数时,
不能为奇数.
综上可得与
同奇偶.
所以为偶数.
因为为偶数,所以
为偶数.
因为为偶数,且
,所以
.
因为,且
,所以
.
以此类推,可得.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其它都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所习的买衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知三位顾客各买了一件衣服.
(1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率;
(2)两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服,设
为打折后两位顾客的消费总额,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】—般地,若函数的定义域为
,值域为
,则称
为
的“
倍跟随区间”;特别地,若函数
的定义域为
,值域也为
,则称
为
的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若为
的跟随区间,则
B.函数不存在跟随区间
C.若函数存在跟随区间,则
D.二次函数存在“3倍跟随区间”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数.若直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
与
轴所成的锐角为
,直线
与
轴所成的锐角为
,判断
与
的大小关系并加以证明.
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