Question

【题目】已知函数 有两个不同的零点.

（1）求的取值范围；

（2）设， 是的两个零点，证明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围；（2）构造函数设， ，可利用导数证明∴，∴，

于是，即， 在上单调递减，可得，进而可得结果.

试题解析：（1）【解法一】

函数的定义域为： .

，

①当时，易得，则在上单调递增，

则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.

②当时，令得： ，则

	+	0	-
	增	极大	减

∴ .

设，∵，则在上单调递增.

又∵，∴时， ； 时， .

因此：

（i）当时， ，则无零点，

不符合题意，舍去.

（ii）当时， ，

∵ ，∴在区间上有一个零点，

∵ ，

设， ，∵，

∴在上单调递减，则，

∴，

∴在区间上有一个零点，那么， 恰有两个零点.

综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是.

（1）【解法二】

函数的定义域为： . ，

①当时，易得，则在上单调递增，

则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.

②当时，令得： ，则

	+	0	-
	增	极大	减

∴ .

∴要使函数有两个零点，则必有，即，

设，∵，则在上单调递增，

又∵，∴；

当时：

∵ ，

∴在区间上有一个零点；

设，

∵，∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴，

∴ ，

则，∴在区间上有一个零点，

那么，此时恰有两个零点.

综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是.

（2）【证法一】

由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；

当时， 是减函数；

不妨设： ，则： ；

设， ，

则：

.

当时， ，∴单调递增，又∵，

∴，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∵， ， 在上单调递减，

∴，∴.

（2）【证法二】

由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；

当时， 是减函数；

不妨设： ，则： ；

设， ，

则

.

当时， ，∴单调递增，

又∵，∴，∴，

∵，

∴ ，

∵， ， 在上单调递减，

∴，∴.