【题目】已知,函数
.
(1)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的值;
(2)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
【答案】(1)或
.(2)
【解析】
(1)代入解析式表示出方程并化简,对二次项系数分类讨论与
,即可确定只有一个元素时
的值;
(2)由对数函数性质可知函数在区间
上单调递减,由题意代入可得
,化简不等式并分离参数后构造函数,利用函数的单调性求出构造函数的最值,即可求得
的取值范围.
(1)关于的方程
,
代入可得,
由对数运算性质可得,化简可得
,
当时,代入可得
,解得
,代入经检验可知,
满足关于的方程
的解集中恰有一个元素,
当时,则
,解得
,
再代入方程可解得,代入经检验可知,
满足关于的方程
的解集中恰有一个元素,
综上可知,或
.
(2)若,对任意
,函数
在区间
上单调递减,
由题意可知,
化简可得,即
,所以
,
令
,
当时,
,当
时,
,设
,
设,
,
,
所以在
是增函数,
,
,
则的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且与直线
的斜率互为相反数.若直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
与
轴所成的锐角为
,直线
与
轴所成的锐角为
,判断
与
的大小关系并加以证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.
(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;
(II)从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为,求
的分布列和数学期望(
;
(Ill)试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差
的大小.(只需写出结论).
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