Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是正方形， 平面， 分别是线段， 的中点， .

求证： 平面；

求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而

所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形， 两两垂直，以为原点， ， ， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.

解： 方法一：

取中点，连接，

分别是中点, ，

为中点， 为正方形， ，

,四边形为平行四边形，

平面， 平面，

平面.

方法二：

取中点，连接， .

是中点， 是中点， ，

又是中点， 是中点， ，

， ，

又， 平面， 平面， 平面， 平面， 平面平面.

又平面， 平面.

方法三：

取中点，连接， ，

在正方形中， 是中点， 是中点

又是中点， 是中点， ，

又，

，

，

平面//平面.

平面

平面.

方法四：

平面,且四边形是正方形， 两两垂直，以为原点， ， ， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则

，

则设平面法向量为，

则, 即, 取，

，

所以 ，又平面， ∥平面.

平面,且四边形是正方形， 两两垂直，以为原点， ， ， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则

设平面法向量为，

，

则, 即，

取,

则设平面法向量为，

则, 即, 取，

.

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）