Question

【题目】已知函数，，且函数是偶函数.

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），零点为0，-2，2

【解析】

（1）由是偶函数，求出后可得；

（2）等式在上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值；

（3）可换元，化为关于（）的方程，原函数有三个零点，即原方程有三个解，由对称性（或偶函数）知是一个解，即是新方程的一个根，由此可求得，从而求得另外的根，即求得函数的零点．

（1）∵，

∴.

∵是偶函数，∴，∴.∴，∴.

（2）∵在上恒成立，∴.

令，，则，，∴.

（3）令，则，方程可化为，即，也即.

又∵方程有三个实数根，

∴有一个根为2，∴.∴，解得或.

由，得，由，得，

∴该函数的零点为0，-2，2.