【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,(i)求曲线
在点
处的切线方程;
(ii)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(i),(ii)递增区间是
,递减区间是
;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)(i)求出,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(ii)分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)先利用导数证明
,则
,再利用二次函数的性质证明
,则
,从而可得结论.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,定义域为
(i)
所以切点坐标为,切线斜率为
所以切线方程为
(ii)令,
所以在
上单调递减,且
所以当时,
即
所以当时,
即
综上所述, 的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)方法一:
,即
设
设
所以在
小于零恒成立
即在
上单调递减
因为
所以,
所以在上必存在一个
使得
即
所以当时,
,
单调递增
当时,
,
单调递减
所以
因为
所以
令得
因为,所以
,
因为,所以
恒成立
即恒成立
综上所述,当时,
方法二:
定义域
为了证明,即
只需证明,即
令
则
令,得
令,得
所以在
上单调递增,在
上单调递减
所以
即,则
令
因为,所以
所以恒成立
即
所以
综上所述,
即当时,
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图一块长方形区域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=
,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.
(1)当0≤时,写出S关于
的函数表达式;
(2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区工会利用 “健步行”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).记年龄不超过40岁的会员为
类会员,年龄大于40岁的会员为
类会员.为了解会员的健步走情况,工会从
两类会员中各随机抽取
名会员,统计了某天他们健步走的步数,并将样本数据分为
,
,
,
,
,
,
,
,
九组,将抽取的
类会员的样本数据绘制成频率分布直方图,
类会员的样本数据绘制成频率分布表(图、表如下所示).
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)从该地区类会员中随机抽取
名,设这
名会员中健步走的步数在
千步以上(含
千步)的人数为
,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)设该地区类会员和
类会员的平均积分分别为
和
,试比较
和
的大小(只需写出结论).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则
等于 ( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程的解组成的集合;
(6)不等式的解集.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点E是正方形ABCD边AD的中点,现将△ABE沿BE所在直线翻折成到△A'BE,使A’C=BC,并连接A'C,A'D.
(1)求证:DE∥平面A'BC;
(2)求证:A'E⊥平面A'BC.
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