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    【题目】已知椭圆： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线： 与椭圆有且只有一个公共点．

    （Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；

    （Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．

    【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.

    【解析】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.

    试题解析：（Ⅰ）由已知， ，则椭圆E的方程为.

    由方程组得.①

    方程①的判别式为，由，得，

    此时方程①的解为，

    所以椭圆E的方程为.

    点T坐标为（2,1）.

    （Ⅱ）由已知可设直线的方程为，

    由方程组可得

    所以P点坐标为（），.

    设点A，B的坐标分别为.

    由方程组可得.②

    方程②的判别式为，由，解得.

    由②得.

    所以，

    同理，

    所以

    .

    故存在常数，使得.

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    （1）当cos＝时，求小路AC的长度；

    （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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    （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

    （2）若直线与曲线有公共点，且直线与曲线的交点恰好在曲线与轴围成的区域（不含边界）内，求的取值范围.

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    （1）讨论函数的单调性；

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    【题目】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

    第一种生产方式

    第二种生产方式

    8

    6

    5

    5

    6

    8

    9

    9

    7

    6

    2

    7

    0

    1

    2

    2

    3

    4

    5

    6

    6

    8

    9

    8

    7

    7

    6

    5

    4

    3

    3

    2

    8

    1

    4

    4

    5

    2

    1

    1

    0

    0

    9

    0

    （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

    （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

    超过m

    不超过m

    总计

    第一种生产方式

    第二种生产方式

    总计

    （3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

    附：，．

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    【题目】北京市政府为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.

    （1）求该海产品不能销售的概率.

    （2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望.

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    【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中组学生每天学习数学时间不足个小时，组学生每天学习数学时间达到一个小时，学校规定分及分以上记为优秀，分及分以上记为达标，分以下记为未达标.

    （1）根据茎叶图完成下面的列联表：

    达标

    未达标

    总计

    组

    组

    总计

    （2）判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.

    参考公式与临界值表：，其中.

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    （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

    （2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列.

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    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）求证：平面；

    （Ⅲ）若，求证：平面平面．

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