Question

【题目】如图，正方形和梯形所在的平面互相垂直，，，与交于点，，分别为线段，的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若，求证：平面平面．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

（Ⅰ）推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，由此能证明AC⊥BF；

（Ⅱ）法一：取AD中点M，连接ME，MG，则GM∥BD且，从而GM∥EF且GM＝EF，进而四边形GMEF为平行四边形，从而GF∥ME，由此能证明GF∥平面ADE；

法二：连接OF，OG，推导出四边形DOFE为平行四边形，从而OF∥DE，进而OF∥平面ADE，由O，G分别为BD，AB的中点，得OG∥AD，从而OG∥平面ADE，进而平面GOF∥平面ADE，由此能证明GF∥平面ADE；

（Ⅲ）连接OH，则OH∥DF，由DF⊥BF，得OH⊥BF，再由BF⊥AC，得BF⊥平面AHC，由此能证明平面AHC⊥平面BGF．

解：（Ⅰ）因为为正方形，所以．又因为平面平面，

平面平面，

所以平面．又因为平面，

所以．

（Ⅱ）方法一：取中点，连接，，

在中，，分别为，的中点，

所以且．又因为且，

所以且.所以四边形为平行四边形.

所以.因为平面，

平面，所以平面．

方法二：连接，，

因为且，

所以且.

所以四边形为平行四边形．所以．

因为平面，

平面，

所以平面．因为，分别为，的中点，

所以．又因为平面，平面，

所以平面．因为，

所以平面平面．因为平面，

所以平面．

（Ⅲ）连接，

在中，，分别为，的中点，

所以.因为，

所以.因为，

，

平面，平面，

所以平面.因为平面，

所以平面 平面．