Question

【题目】已知数列，则“存在常数，对任意的，且，都有”是“数列 为等差数列”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】C

【解析】

由等差数列的定义不妨令m＝n+1，则有：an+1﹣an＝c，可知，数列{an}是以c为公差的等差数列，由等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，（d为公差）得：，故得解．

①由已知：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”

不妨令m＝n+1，则有：an+1﹣an＝c，由等差数列的定义，

可知，数列{an}是以c为公差的等差数列，

②由“数列{an}为等差数列”则an＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，（d为公差）

所以：，

即存在“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”此时，c＝d，

综合①②得：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有”

是“数列{an}为等差数列”的充分必要条件，

故选：C．