Question

设数列{a_n}的前n（n∈N^*）项和为S_n，a₁=1，a₂=2，当n＞2时，S_n=a_n+1．
（1）求a_n；（2）求数列{（S_n-34）a_n}（n∈N^*）最小的项．

Answer 1

解：（1）依题意，n＞3时，
S_n=a_n+1，S_n-1=a_n-1+1，
两式相减得：
S_n-S_n-1=a_n-a_n-1…（1分），
∴a_n=a_n-a_n-1?…（2分）
所以=×a_n-2=××…×a₃=（3分）
n=3时，S₃=a₃+1，a₁+a₂+a₃=a₃+1，
解得a₃=4…（4分）
所以n＞3时，a_n=2（n-1）…（5分），
而且2（3-1）=4=a₃，2（2-1）=2=a₂，2（1-1）=0≠a₁…（6分），
所以a_n=…（7分）
（2）依题意，（S₁-34）a₁=-33，（S₂-34）a₂=-62
n＞2时，（Sn-34）a_n=2n³-4n²-64n+66…（8分），
作函数f（x）=2x³-4x²-64x+66，x＞2…（9分）
f′（x）=6x²-8x-64=2（3x+8）（x-4）…（10分），
解得x=4…（11分）
当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0…（12分）．
所以，f（x）在x=4取得最小值f（4）=-126…（13分），
因为f（4）＜-33且f（4）＜-62，
所以，数列{（Sn-34）a_n}（n∈N₊）最小的项是（S₄-34）a₄=-126…（14分）．
分析：（1）依题意，n＞3时，S_n=a_n+1，S_n-1=a_n-1+1，两式相减得：S_n-S_n-1=a_n-a_n-1从而得出数列a_n的递推式，再利用累乘的方法即可求出数列的通项公式；
（2）依题意先得出（Sn-34）a_n=2n³-4n²-64n+66，作函数f（x）=2x³-4x²-64x+66，x＞2，利用导数研究其单调性得到f（x）在x=4取得最小值，从而得出数列{（Sn-34）a_n}（n∈N₊）最小的项．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列递推式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．