Question

已知直线（1-λ）x+（3λ+1）y-4=0（λ∈R）所过定点恰好落在曲线f（x）=

logax，0＜x≤3 |x-4|，x＞3

上，若函数h（x）=f（x）-mx+2有三个不同的零点，则实数m的范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（-∞，

  1

  2

  ）∪（1，+∞）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）∪[1，+∞）
• D、（

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据直线过定点，求出定点坐标，从而求出a，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：依题意，直线为（x+y-4）-λ（x-3y）=0，联立

x+y-4=0 x-3y=0

，
解得

x=3 y=1

，故定点为（3，1），log_a3=1，
∴a=3，f(x)=

log3x ，0＜x≤3 |x-4| ，x＞3

．
令h（x）=f（x）-mx+2=0，
故f（x）=mx-2．则f（x）的图象与g（x）=mx-2的图象有三个不同的交点．
作图，得关键点A（0，-2），B（3，1），C（4，0），
可知g（x）=mx-2应介于直线AB与直线AC之间．
由k_AB=1，kAC=

1

2

，故m∈(

1

2

，1)．
故选：A

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用分段函数的表达式，结合数形结合是解决本题的关键．