Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2BC=2DC=2，3BM=BP．
（1）求证：CM∥平面PAD．
（2）若CM与平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）在AB上取点N使得BN=$\frac{1}{3}$AB，连接MN，CN．通过证明平面MNC∥平面PAD得出CM∥平面PAD；
（2）以B为原点建立空间坐标系，设AP=h，求出$\overrightarrow{CM}$和平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可解出h．

解答 证明：（1）在AB上取点N使得BN=$\frac{1}{3}$AB，连接MN，CN．
∵$\frac{BM}{BP}=\frac{NB}{AB}$=$\frac{1}{3}$，∴MN∥PA，
又MN?平面PAD，PA?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
∵AC=2BC=2CD=2，AB⊥BC，AD⊥DC，
∴AB=AD=$\sqrt{3}$，∠BAC=CAD=30°，∴∠BAD=60°．
∴BN=$\frac{1}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴tan∠BNC=$\frac{BC}{BN}$=$\sqrt{3}$．∴∠BNC=60°．
∴∠BNC=∠BAD．∴CN∥AD，
又CN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CN∥平面PAD，
又CN∩MN=N，MN?平面MNC，CN?平面MNC，
∴平面MNC∥平面PAD．又CM?平面MNC，
∴CM∥平面PAD．
（2）以B为原点，以BC为x轴，以BA为y轴，以平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设AP=h，则C（1，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，$\sqrt{3}$，h），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{h}{3}$）．
∴$\overrightarrow{CM}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{h}{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，h）．
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{hz=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2•\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{{h}^{2}}{9}}}$=-$\sqrt{\frac{3}{12+{h}^{2}}}$．
∴$\sqrt{\frac{3}{12+{h}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．解得h=$\sqrt{3}$．
∴AP=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．