Question

12．∠AOB在平面α内，OC是α的斜线，OB为OC在平面α内的射影，若∠COA=θ，∠COB=θ₁，∠BOA=θ₂，则cosθ、cosθ₁、cosθ₂三者之间满足的关系为cosθ=cosθ₁•cosθ₂．

Answer 1

分析 过C作CB⊥OB于B，过B作BA⊥OA于A，连接AC．则可证OA⊥AC，用OA，OB，OC表示出三个角的余弦值即可得出结论．

解答 解：过C作CB⊥OB于B，过B作BA⊥OA于A，连接AC．
∵OB为OC在平面α内的射影，∴BC⊥平面α，
∵OA?平面α，
∴BC⊥OA，又OA⊥AB，BC∩AB=B，
∴OA⊥平面ABC，∴OA⊥AC．
∴cosθ=$\frac{OA}{OC}$．cosθ₁=$\frac{OB}{OC}$，cosθ₂=$\frac{OA}{OB}$．
∴cosθ=cosθ₁•cosθ₂．
故答案为：cosθ=cosθ₁•cosθ₂．

点评 本题考查了线面角的定义，线面垂直的判定，属于中档题．