Question

4．设函数f（x）=-x³+ax²+bx+c的导数f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（2）求出函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值，建立方程关系即可求c的值．
（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3-2a+b=0}\\{-12+4a+b=9}\end{array}\right.$得a=3，b=9，
则f（x）=-x³+3x²+9x+c，f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x²-2x-3），
由f′（x）＞0得-3（x²-2x-3）＞0得x²-2x-3＜0，得-1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（-1，3），
由f′（x）＜0得-3（x²-2x-3）＜0得x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
此时函数单调递减，即递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）；
（2）由（1）知，当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
f（-2）=8+12-18+c=2+c，f（2）=-8+12+18+c=22+c，
则f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=22+c=20，
则c=-2．
（3）由（1）知当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=1+3-9+c=c-5，
当x=3时，函数取得极大值f（3）=-27+27+27+c=27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=c-5＜0}\\{f（3）=27+c＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{c＜5}\\{c＞-27}\end{array}\right.$，得-27＜c＜5，
即c的范围是（-27，5）．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，建立方程或不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．