Question

14．已知函数f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+x+1，x≥1\\{x}^{2}-x+1，x＜1\end{array}\right.$，依题意，可得 $\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+x+1=x，x≥1\\{x}^{2}-x+1=x，x＜1\end{array}\right.$，解之即可；
（Ⅱ）当a∈（0，3），作出函数y=f（x）的图象，分0＜a≤1、1＜a＜2与2≤a＜3三类讨论，数形结合，即可求得函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+x+1，x≥1\\{x}^{2}-x+1，x＜1\end{array}\right.$，
由f（x）=x可得：$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+x+1=x，x≥1\\{x}^{2}-x+1=x，x＜1\end{array}\right.$．
解得x=1，
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+ax+1，x≥a\\{x}^{2}-ax+1，x＜a\end{array}\right.$，作出示意图，
注意到几个关键点的值：
f（0）=f（a）=1，f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当0＜a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f（1）=a；
1＜a＜2时，f（x）在[1，a]上单调递增，在[a，2]上单调递减，
函数的最大值为f（a）=1；
当2≤a＜3时，f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上单调递减，在[$\frac{a}{2}$，2]上单调第增，
且直线x=$\frac{a}{2}$是函数的对称轴，由于（2-$\frac{a}{2}$）-（$\frac{a}{2}$-1）=3-a＞0，
故函数的最大值为f（2）=5-2a．
综上可得，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}a，0＜a≤1\\ 1，1＜a＜2\\ 5-2a，2≤a＜3\end{array}\right.$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，综合考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，考查逻辑思维、抽象思维、创新思维的综合运用，是难题