Question

17．已知等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为2$\sqrt{2}$，E为边CD上的点，F为边BC上的点，且满足：$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3λ}\overrightarrow{BC}$，若$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$=$-\frac{10}{3}$，则实数λ=$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DC}$表示出$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$，根据数量积列方程解出λ．

解答 解：∵等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为2$\sqrt{2}$，∴BC=CD=2，
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{DC}}^{2}$=4，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=0，
∵$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3λ}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{CE}$=（λ-1）$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{3λ}$-1）$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{BC}$+（λ-1）$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{3λ}$-1）$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}$=[$\overrightarrow{BC}$+（λ-1）$\overrightarrow{DC}$]•[（$\frac{1}{3λ}$-1）$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DC}$]=（$\frac{1}{3λ}-1$）${\overrightarrow{BC}}^{2}$+（λ-1）${\overrightarrow{DC}}^{2}$=4（$\frac{1}{3λ}$+λ-2）=-$\frac{10}{3}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤λ≤1}\\{0≤\frac{1}{3λ}≤1}\end{array}\right.$得$\frac{1}{3}$≤λ≤1．显然两个值都符合条件．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．