Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=3-

a

x

（a为常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1时，表示出φ（x），求导数，在定义域内解不等式φ′（x）＜0，φ′（x）＞0即可；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化为a=-x³+3x，令h（x）=-x³+3x，则问题转化为求函数h（x）的值域问题；

解答：解：（1）a=1时，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-3+

1

x

（x＞0），
φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以φ（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．
（2）e^2f（x）=g（x），即e^2lnx=3-

a

x

，x²=3-

a

x

，则a=-x³+3x，
令h（x）=-x³+3x，则h′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，故h（x）在[1，2]上单调递减，
所以h（2）≤h（x）≤h（1），即-2≤h（x）≤2，
所以要使方程e^2f（x）=g（x）在区间[1，2]上有解，须有a∈[-2，2]．
故实数a的取值范围为[-2，2]．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及函数最值的求解，准确求导，熟练计算是判断单调性的基础，本题（2）问的解决关键是把方程解的问题转化为函数值域问题．