Question

已知函数f(x)=sinx-

3

cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量

a

=(2，cosα)，

b

=(1，tan(α+

β

2

))（0＜α＜

π

4

），且

a

•

b

=

7

3

．
（Ⅰ）求f（x）在区间[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（Ⅱ）求

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

分析：（I）根据辅助角公式化简，可得f（x）=2sin(x-

π

3

)+2．再由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得f（x）的最小值与最大值；
（II）根据三角函数周期公式得β=2π，利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出

a

•

b

=2+sinα=

7

3

，解得sinα=

1

3

，从而得出cosα=

2 2

3

．再利用三角函数的诱导公式化简，可得原式=2cosα=

4 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得
f(x)=sinx-

3

cosx+2=2(sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

)+2=2sin(x-

π

3

)+2．
∵x∈[

2π

3

，

4π

3

]，可得x-

π

3

∈[

π

3

，π]，∴sin(x-

π

3

)∈[0，

π

2

]，
当x=

4π

3

时，f（x）的最小值是2；当x=

5π

6

时，f（x）的最大值是4．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin(x-

π

3

)+2的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得

a

•

b

=2+cosα•tan(α+

β

2

)=2+cosαtan(α+π)=2+sinα=

7

3

，解之得sinα=

1

3

．
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2α

cosα-sinα

=

2cos α(cosα-sinα)

cosα-sinα

=2cosα，
∵0＜α＜

π

4

，可得cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=2cosα=

4 2

3

．

点评：本题将一个三角函数式化简，求函数在闭区间上的最值，并且在已知向量数量积的情况下，求三角函数分式的值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．