【题目】椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过坐标原点的直线交椭圆于两点,在第一象限,轴,垂足为,连接延长交椭圆于点.
①求证:;
②求面积最大值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,, ,,, PA=AB=BC=2. E是PC的中点.
(1)证明: ;
(2)求三棱锥P-ABC的体积;
(3) 证明:平面
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【题目】已知直线与抛物线交于P,Q两点,且的面积为16(O为坐标原点).
(1)求C的方程.
(2)直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直;l与C交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线与x轴交于点D,试问在x轴上是否存在点E,使为定值?若存在,求该定值及E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的极值点;
(Ⅱ)若直线过点,并且与曲线相切,求直线的方程;
(Ⅲ)设函数,其中,求函数在区间上的最小值.(其中为自然对数的底数)
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【题目】为调查了解某高等院校毕业生参加工作后,从事对工作与大学所学专业是否专业对口,该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生,得到具体数据如下表:
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关?”
参考公式:
附表:
(2)求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率,并估计该校近3年毕业的2000名大学生总从事的工作与大学所学专业对口的人数;
(3)若从工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙,女生对丙、丁,让他们两两进行一次10分钟的职业交流,该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录,然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站,试求选取的视频恰为异性交流视频的概率.
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【题目】已知椭圆: 的上下两个焦点分别为, ,过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点, 的面积为,椭圆的离心力为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线: 与轴交于点,与椭圆交于, 两个不同的点,若存在实数,使得,求的取值范围.
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【题目】椭圆C:()的左、右焦点分别是、,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接、,设的角平分线PM交C的长轴于点,求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为、,若,试证明为定值,并求出这个定值.
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