【题目】在平面直角坐标系
中，二次函数
的图象与坐标轴的交点都在圆
上．
（1）求圆的方程；
（2）直线
交圆于
、
两点，且
，求
．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求出二次函数
的图象与坐标轴的三个交点坐标，可知圆心在直线
上，可设圆心坐标为
，利用圆心到二次函数与
轴的交点以及与
轴的一个交点的距离相等列等式求出
的值，进而可得出圆
的方程；
（2）设点
、
，将直线
的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算结合条件
求出
的值，由此可得出直线的方程，并计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出
.
（1）令
，得
．所以抛物线与轴交点为
．
令
，得
，解得
.
所以抛物线与轴的交点为
，
．
设圆心坐标为
，则有
，解得
．
所以圆的半径
，所以圆的方程为；
（2）设，，
联立
，消去并整理得
．
所以
，
，
，
由题设可得
，解得
，所以
，即
．
又圆心到直线的距离
，所以
．
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【题目】椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过坐标原点的直线
交椭圆于
两点，
在第一象限，
轴，垂足为
，连接
延长交椭圆于点
.
①求证：
；
②求
面积最大值.
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【题目】某公司在招聘员工时，要进行笔试，面试和实习三个过程．笔试设置了3个题，每一个题答对得5分，否则得0分．面试则要求应聘者回答3个问题，每一个问题答对得5分，否则得0分．并且规定在笔试中至少得到10分，才有资格参加面试，而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习的机会．现有甲去该公司应聘，假设甲答对笔试中的每一个题的概率为
，答对面试中的每一个问题的概率为
．
（1）求甲获得实习机会的概率；
（2）设甲在去应聘过程中的所得分数为随机变量
，求的分布列和数学期望．
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【题目】已知函数
.
（1）若
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）若函数在
时取得极值，当
时，求使得
恒成立的实数
的取值范围；
（3）若函数在区间
上单调递减，求实数
的取值范围.
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【题目】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设
表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．
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【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
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【题目】某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为
人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
（1）现从乙班数学成绩不低于
分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为
分的同学被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于
分的优秀，请填写下面的
联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
附：参考公式及数据
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