Question

【题目】椭圆C：（）的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线、的斜率分别为、，若，试证明为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析，定值为.

【解析】

（1）根据过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3，得到，根据离心率得到，从而得到和的值；

（2）设，表示出和的直线方程，根据题意得到到两直线的距离相等，得到和的关系，从而得到的范围；

（3）直线的方程为，与椭圆联立，由，得到，表示出，从而得到，整理化简后，得到定值.

（1）由于，

将代入椭圆方程，得，

由题意知，又，

所以，

所以椭圆C的方程为

（2）设（）

又，所以直线的方程分别为

，，

由题意知，

由于点在椭圆上，

所以，，

所以，

因为，，

所以，所以．

因此．

（3）设（），则直线的方程为

联立

整理得.

由题意得，即.

又，所以，

故.

而，

所以，

因此为定值，这个定值为.