Question

（14分）已知函数，其中常数。
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，是否存在实数，使得直线恰为曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”。当，试问是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）。（2）不存在；（3）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标。

试题分析：（1），其中，…………………. ………. ……………2
令得或.……………………………
当及时，当时，……………3
的单调递增区间为。……………………….4
（2）当时，，其中，
令，…………………………5
方程无解，…………………………………………………6
不存在实数使得直线恰为曲线的切线。………7
（3）由（2）知，当时，函数在其图象上一点处的切线方程为………………..8
设则  …………………………………….9

若在上单调递减，时，，此时………………………………….
若在上单调递减，时，，此时……………………………………
在上不存在“类对称点”………………..11
若在上是增函数，
当时，，当时，，故
即此时点是的“类对称点”
综上，存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标。…….14
点评：①本题主要考查函数的单调增区间的求法，以及探索满足条件的实数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．②利用导数求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域。