Question

15．已知函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x＜0）}\\{{x}^{2}-1（x≥0）}\end{array}\right.$，若函数y=g（g（x））-2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 作出函数y=g（g（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．

解答 解：当x＜0时，g（x）=-x+1＞0，此时g（g（x））=（-x+1）²-1=x²-2x
当0≤x＜1时，g（x）=x²-1＜0，此时g（g（x））=-（x²-1）+1=-x²+2
当x≥1时，g（x）=x²-1≥0，此时g（g（x））=（x²-1）²-1=x⁴-2x²，
函数y=g（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x＜0）}\\{-{x}^{2}+2，（0≤x＜1）}\\{{x}^{4}-2{x}^{2}，（x≥1）}\end{array}\right.$．
函数y=g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））-2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]
故答案为：（$\frac{1}{2}，1$]

点评 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题