Question

3．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧$\widehat{DE}$上运动（如图所示），若 $\overrightarrow{AP}$=λ $\overrightarrow{ED}$+μ $\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R．则$\frac{2λ}{μ}$的取值范围是[-1，3]．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，再利用函数的单调性即可求出范围

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ $\overrightarrow{ED}$+μ $\overrightarrow{AF}$，
∴（cosα，sinα）=λ（-1，1）+μ（1.5，0.5），
∴cosα=-λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=$\frac{1}{4}$（3sinα-cosα），μ=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα），
∴$\frac{2λ}{μ}$=$\frac{3sinα-cosα}{cosα+sinα}$=$\frac{3tanα-1}{tanα+1}$=3-$\frac{4}{1+tanα}$，
设f（α）=3-$\frac{4}{1+tanα}$，易知函数f（α）为增函数，
∵0≤α≤90°，
∴f（0）≤f（α）≤f（90°）
∴-1≤f（α）≤3
∴$\frac{2λ}{μ}$的取值范围是[-1，3]．
故答案为：[-1，3]．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键，属于中档题