Question

10．已知关于x的不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由题意可知，a≥0时不成立；可知a＜0，然后分a≤-1和a∈（-1，0），利用导数求得最值得答案．

解答 解：当a≥0时，取x=1，则ax³+x²+x=a+2＞2，lnx+$\frac{1}{x}$=1，不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上不恒成立，
∴a＜0．
①当a≤-1时，ax³+x²+x≤-x³+x²+x，
令g（x）=-x³+x²+x，
g′（x）=-3x²+2x+1=-（3x+1）（x-1），
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴g（x）在（0，+∞）上的极大值也是最大值为g（1）=1．
又f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
f（x）为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上的极小值也是最小值为f（1）=ln1+1=g（1）．
∴f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；
②当a∈（-1，0）时，取x=1，则ax³+x²+x=a+2＞1，lnx+$\frac{1}{x}$=1，不等式ax³+x²+x≤lnx+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上不恒成立．
综上，a≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．