Question

10．已知抛物线y²=-4x的焦点为F，准线为l
（1）求经过点F与直线l相切，且圆心在直线x+y-1=0上的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线y²=-4x的焦点与准线方程，设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，利用经过点F的直线l相切，且圆心在直线x+y-1=0上的圆的方程，建立方程组，即可求得圆的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0）代入抛物线方程，消元，确定P的坐标，求得线段AB的垂直平分线方程，求得与x轴交于点M的横坐标，即可确定M的取值范围．

解答 解：（1）抛物线y²=-4x的焦点为F（-1，0），准线为l为x=1，
设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵经过点F与直线l相切，且圆心在直线x+y-1=0上的圆的方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-1=0}\\{|a-1|=r}\\{（-1-a）^{2}+{b}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$
∴a=-1，b=2，r=2，
∴圆的方程为（x+1）²+（y-2）²=4；
（2）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为P，
将直线方程代入抛物线方程，消元可得k²x²+2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，∴xP=-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$．
∴yP=k（1-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$）=-$\frac{2}{k}$，
∴线段AB的垂直平分线方程为y+$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+1+$\frac{2}{{k}^{2}}$）
∴与x轴交于点M的横坐标为xM=-3-$\frac{2}{{k}^{2}}$＜-3，
∴M的横坐标取值范围是（-∞，-3）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆的方程，属于中档题．