Question

已知函数，，．
(1)若，试判断并证明函数的单调性；
(2)当时，求函数的最大值的表达式．

Answer 1

(1)当时，在上是增函数，证明过程详见试题解析； (2)函数的最大值的表达式.

解析试题分析：(1)当时，，用单调性的定义即可证明函数式单调递增的；
(2)当时，； 分和两种情况分别求出各段的最大值即可.
试题解析：(1)判断：若，函数在上是增函数.        1分
证明：当时，，
在区间上任意，设，

所以，即在上是增函数.   5分
(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给5分)
(2)因为，所以      7分
①当时，在上是增函数，在上也是增函数，
所以当时，取得最大值为；               9分
②当时，在上是增函数，在上是减函数，
在上是增函数，                                11分
而，
当时，，当时，函数取最大值为；
当时，，当时，函数取最大值为；13分
综上得，                      15分
考点：函数的性质、函数最值的求法、分类讨论思想.