Question

9．某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n人，得到如下的统计表和频率分布直方图．
（Ⅰ）写出其中的a、b及x和y的值；
（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，用X表示其中是第3组的人数，求X的分布列和期望．

组号	分组	喜爱人数	喜爱人数 占本组的频率
第1组	[15，25）	a	0.10
第2组	[25，35）	b	0.20
第3组	[35，45）	6	0.40
第4组	[45，55）	12	0.60
第5组	[55，65]	c	0.80

Answer 1

分析 （I）由第3组与第4组的人数分别为：$\frac{6}{0.4}$=15，$\frac{12}{0.6}$=20，再根据直方图可知：第1组与第2组的人数都为20人，且抽样总人数n=$\frac{20}{0.02×10}$，可得第5组的人数为100-20-10-15-20．进而定点a，b，c，x，y．
（II）第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人数比为2：4：6=1：2：3，则分层抽样的方法抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人．
（III）X可能取的值分别为0，1，2．P（X=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{2}}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$

解答 解：（I）由第3组与第4组的人数分别为：$\frac{6}{0.4}$=15，$\frac{12}{0.6}$=20，
再根据直方图可知：第1组与第2组的人数都为20人，且抽样总人数n=$\frac{20}{0.02×10}$=100，
∴第5组的人数为100-20-10-15-20=25．
且a=0.1×20=2，b=0.2×20=4，c=0.8×25=20．
x=$\frac{\frac{15}{100}}{10}$=0.015，y=$\frac{\frac{25}{100}}{10}$=0.025．
（II）第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人数比为2：4：6=1：2：3，
则分层抽样的方法抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人．
（III）X可能取的值分别为0，1，2．P（X=0）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，其分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=$0×\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样方法、离散型随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．