Question

关于圆M：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1（θ∈R），有下列命题：
①圆M过定点（0，0）；
②当θ=0时，圆M与y轴相切；
③点A（-2，1）到圆M上点的距离的最大值为2+

5

；
④存在θ，使圆M与x轴，y轴都相切．
其中真命题是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆

分析：圆M的圆心（cosθ，sinθ），半径为r=1，
①将x=0，y=0代入圆M的方程：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=cos²θ+sin²θ=1，可判断①正确；
②当θ=0时，cos0=1，sin0=0，圆M的方程变为：（x-1）²+y²=1，与y轴相切，可判断②正确；
③点A（-2，1）到圆M的圆心（cosθ，sinθ）距离
d=

(cosθ+2)2+(sinθ-1)2

=

6+4cosθ-2sinθ

=

6+ 42+(-2)2 sin(θ+α)

≤

6+2 5

=

5

+1，
可求得点A（-2，1）到圆M上点的距离的最大值为（1+

5

++1=2+

5

，判断③正确；
④假设存在θ，使圆M与x轴，y轴都相切，|cosθ|=|sinθ|=1，导出矛盾，可判断④不正确；

解答： 解：圆M的圆心（cosθ，sinθ），半径为r=1；
对于①：将x=0，y=0代入圆M的方程：（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=cos²θ+sin²θ=1，即圆M过定点（0，0），①正确；
对于②：当θ=0时，cos0=1，sin0=0，圆M的方程变为：：（x-1）²+y²=1，显然与y轴相切，②正确；
对于③：点A（-2，1）到圆M的圆心（cosθ，sinθ）距离
d=

(cosθ+2)2+(sinθ-1)2

=

6+4cosθ-2sinθ

=

6+ 42+(-2)2 sin(θ+α)

≤

6+2 5

=

5

+1，
所以，点A（-2，1）到圆M上点的距离的最大值为（1+

5

++1=2+

5

，③正确；
对于④：假设存在θ，使圆M与x轴，y轴都相切，则|cosθ|=|sinθ|=1，这不可能，④不正确；
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查圆的标准方程与直线与圆的位置关系、圆外一点到圆上的点的距离的最值，属于中档题．