Question

2．设集合A={y|y=2^x+1，x＞1}，集合B={y|ay-1＞0}．
（1）若a=$\frac{1}{5}$，试判断集合A与B的关系；
（2）若A∩B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解指数函数的值域化简集合A，把a代入ay-1＞0求解一次不等式化简结合B，则集合A与B的关系可求；
（2）由A∩B=B，得B⊆A，然后分类求解满足B⊆A的a的取值范围．

解答 解：（1）A={y|y=2^x+1，x＞1}=（4，+∞），
当a=$\frac{1}{5}$时，B={y|ay-1＞0}=（5，+∞），
∴B?A；
（2）由A∩B=B，得B⊆A，
若a=0，B={y|ay-1＞0}=∅，符合题意；
若a＜0，B={y|ay-1＞0}=（-∞，$\frac{1}{a}$），而A=（4，+∞），
不满足B⊆A；
若a＞0，B={y|ay-1＞0}=（$\frac{1}{a}$，+∞），而A=（4，+∞），
∴要使B⊆A，则$\frac{1}{a}≥4$，即0＜a$≤\frac{1}{4}$．
综上，若A∩B=B，则a的取值范围是[0，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查交集及其运算，考查了指数函数值域额求法，考查了不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．