Question

如图，已知抛物线x²=4y上两定点A，B分别在对称轴左、右两侧，F为抛物线的焦点，且|AF|=2，|BF|=5．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在抛物线的AOB一段上求一点P，使△ABP的面积S最大，并求这个最大面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由条件求出交点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义和条件求得点A、B的坐标；
（2）由两点间距离公式求出|AB|，再求出直线AB的方程，欲求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值即可．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题意得，抛物线的方程为：x²=4y，
则焦点坐标F（0，1），准线方程为y=-1，
由抛物线的定义得，|AF|=y₁+1，且|BF|=y₂+1
因为|AF|=2，|BF|=5，
所以y₁=1，y₂=4，代入x²=4y求得x₁=±2，x₂=±4，
又A，B分别在对称轴左、右两侧，所以x₁=-2，x₂=4，
所以A（-2，1），B（4，4），
（2）由（1）得，A（-2，1），B（4，4），
则|AB|=

(4+2)2+(4-1)2

=3

5

，
直线AB的方程为y-1=

1

2

（x+2），即x-2y+4=0，
设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且-2≤x₀≤4，1≤y₀≤4．
则点P到直线AB的距离d=

|x0-2y0+4|

1+4

=

|x0-2× x02 4 +4|

5

=

| 1 2 (x0-1)2- 9 2 |

5

，
所以当x₀=1时，d取最大值

9 2

5

=

9 5

10

，
所以△PAB的面积最大值为Smax=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．

点评：本题考查抛物线的方程、定义，两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线方程，二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．