Question

函数f（x）=ax³-b的图象与直线y=3x+2相切于点A（1，f（1））．
（1）求a、b值；
（2）若函数f（x）在点B（-1，f（-1））的切线方程为l，直线m∥l，且m与抛物线y²=2x相切，求直线l和m的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出f'（x）=3ax²，则f'（1）=3，求出切点，则f（1）=5，即可得到a，b；
（2）求出导数f'（x），得到切线l方程，设直线m的方程，代入抛物线方程，消去x，由判别式为0，即可得到l，m的方程．

解答： 解：（1）由已知得f'（x）=3ax²，则f'（1）=3a=3，∴a=1．
又点A在直线y=3x+2上，得f（1）=5，即A（1，5）．
代入f（x）=x³-b，得5=1-b，则b=-4．
（2）由f（x）=x³+4，得f'（x）=3x²，
∴k=f'（-1）=3，又B（-1，3）．
∴切线l方程为y-3=3（x+1），即3x-y+6=0．
设直线m的方程为y=3x+t，代人y²=2x得3y²-2y+2t=0．
∴△=4-24t=0，从而t=

1

6

．
所以直线m的方程为3x-y+

1

6

=0．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线的位置关系，直线与抛物线方程联立，消去一个未知数，运用判别式为0，解决相切问题，属于基础题．