Question

设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，证明不等式：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：依题意，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

a+b+c

a

+

a+b+c

b

+

a+b+c

c

=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），利用基本不等式即可证得结论

解答： 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=

a+b+c

a

+

a+b+c

b

+

a+b+c

c

=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

）
≥3+2

b a • a b

+2

c a • a c

+2

c b • b c

=3+2+2+2=9（当且仅当a=b=c时取“=”）（证毕）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查推理论证能力，属于中档题．