Question

11．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N、P分别是BB₁、A₁C₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：CB₁⊥平面ABC₁；
（2）求证：面MNP∥面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出BC⊥AB，B₁C⊥BC₁，由此能证明CB₁⊥平面ABC₁．
（2）由三角形中位线定理得PM∥BC₁，PN∥A₁B₁，从而PN∥AB，由此能证明面MNP∥面ABC₁．

解答 证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，
∴BC⊥AB，四边形BCC₁B₁是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁．
（2）∵M、N、P分别是BB₁、A₁C₁、B₁C₁的中点，
∴PM∥BC₁，PN∥A₁B₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，∴PN∥AB，
∵PN∩PM=P，AB∩BC₁=B，
PN，PM?平面PMN，AB，BC₁?面ABC₁，
∴面MNP∥面ABC₁．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．